Galilée et les nombres impairs

13 mai 2018 Commentaires fermés sur Galilée et les nombres impairs

Formez la somme des quatre premiers nombres impairs: . Faites de même avec la somme des quatre nombres impairs suivants: . Calculez alors la fraction obtenue en divisant la première somme par la seconde: Le résultat est donc égal à . Magique, non ? Hum, non pas vraiment. Pas encore. Recommencez ce que vous venez de faire avec, non pas la suite des quatre premiers entiers impairs et des quatre suivants, mais avec la suite des cinq premiers entiers impairs et des cinq suivants. Cela donne: et on constate qu’on retrouve . Vous pouvez même essayer avec autant de termes que vous souhaitez, cela marchera encore: Autrement dit, il semblerait que la somme des premiers entiers impairs soit toujours trois fois inférieure à la somme des premiers entiers impairs suivants. « L’important, c’est pas la chute… » Ce résultat amusant, que vous venez peut-être de découvrir, est connu depuis au moins 400 ans (!) car il a été découvert par Galilée en 1615, alors qu’il travaillait sur la chute des corps. Exprimée mathématiquement, voici ce que dit le la propriété trouvée par Galilée: Pour tout entier naturel , Il existe une jolie preuve visuelle de ce résultat, que je ne vais pas

Conway et la réciproque du théorème des valeurs intermédiaires

25 mars 2018 Commentaires fermés sur Conway et la réciproque du théorème des valeurs intermédiaires

Le 26 Décembre dernier, le génialissime mathématicien John Horton Conway fêtait ses 80 ans. Pour célébrer cela, pourquoi ne pas faire un article sur une de ses (nombreuses) découvertes ? Bien entendu, on pourrait parler de sa plus célèbre création, à savoir le fameux Jeu de la vie. On pourrait aussi évoquer la non moins célèbre suite de Conway aussi appelée « Regarde et dis » (« Look and say » dans la langue de Britney Spears).  Bref, les contributions de Conway aux mathématiques sont très nombreuses et toutes superbes. Nous allons nous intéresser à une découverte un peu moins connue de Conway: il s’agit d’une fonction portant son nom qui est en lien avec le théorème des valeurs intermédiaires. Avant de poursuivre, j’espère que vous n’êtes pas superstitieux car elle fera intervenir le nombre 13… Le théorème des valeurs intermédiaires Rappelons, si besoin est, le fameux théorème des valeurs intermédiaires. Ce théorème affirme que si une fonction est continue alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre deux images données (d’où son nom très original). Intuitivement, cela se comprend ainsi: si on trace le graphe d’une fonction sans lever le stylo (c’est-à-dire si la fonction est continue), alors on passera forcément par toutes

En 2018, le facteur ne passera pas deux fois

1 janvier 2018 Commentaires fermés sur En 2018, le facteur ne passera pas deux fois

Vous trépignez à l’idée de savoir ce que renfermera l’année 2018 du point de vue mathématique ? Vous n’en pouvez plus d’attendre de savoir ce que 2018 va nous réserver ? Je ne vous fais pas attendre plus longtemps: cette année 2018 sera exceptionnelle car 2018 est un nombre pair ! Cela faisait un an que cela n’était plus arrivé ! Génial ! Bonne année ! Si vous tournez la tête à 90°, vous pourrez voir que 2018 contient l’infini ! 2018, une année banale ? Trêve de plaisanterie, et voyons quelles propriétés le nombre 2018 possède. Malheureusement, il n’en a pas tant que cela qui fasse de lui un nombre à part mais vous allez voir que, malgré tout, 2018 arrivera quand même à se distinguer… Tout d’abord, citons une propriété du nombre 2018 que je trouve particulièrement jolie: il peut s’écrire comme la somme des carrés de deux nombres premiers, et, plus précisément, Autre propriété intéressante de 2018: ce n’est pas un nombre premier, certes, mais c’est un nombre composé (non premier) sans facteur carré, c’est-à-dire qu’il s’écrit comme le produit de plusieurs nombres premiers distincts Cependant, cela était déjà le cas en 2014 et en 2015 qu’une

Fonctions égales à leur dérivée

3 décembre 2017 Commentaires fermés sur Fonctions égales à leur dérivée

Il y a quelques temps de cela, j’avais posté sur Twitter l’animation suivante:Cette animation était accompagnée du (bref) commentaire suivant : « Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions égales à leur dérivée » C’est une affirmation bien téméraire que j’avais fait là ! Comme le disait Euclide, « ce qui est affirmé sans preuve peut être réfuté sans preuve », donc nous n’allons surtout pas contrarier Euclide et nous allons prouver cette affirmation. Explication de l’animation Avant même de démontrer cette propriété, il est peut-être utile d’expliquer en quoi cette animation illustre le fait que les fonctions sont égales à leur dérivée. Si on se donne la courbe d’une fonction, il est facile de lire l’image d’un point : il suffit de « monter » jusque la courbe et de lire l’ordonnée:Pour lire graphiquement la dérivée, il faut se souvenir que le nombre dérivé en un point n’est rien d’autre que le coefficient directeur de la tangente à en ce point. Vous vous souvenez aussi sans doute de comment lire graphiquement le coefficient directeur d’une droite: on part de n’importe quel point de cette droite, on se décale d’une unité vers la droite et le coefficient directeur est le nombre d’unités qu’il faut parcourir verticalement

Fonctions égales à leur dérivée

3 décembre 2017 Commentaires fermés sur Fonctions égales à leur dérivée

Il y a quelques temps de cela, j’avais posté sur Twitter l’animation suivante:Cette animation était accompagnée du (bref) commentaire suivant : « Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions égales à leur dérivée » C’est une affirmation bien téméraire que j’avais fait là ! Comme le disait Euclide, « ce qui est affirmé sans preuve peut être réfuté sans preuve », donc nous n’allons surtout pas contrarier Euclide et nous allons prouver cette affirmation. Explication de l’animation Avant même de démontrer cette propriété, il est peut-être utile d’expliquer en quoi cette animation illustre le fait que les fonctions sont égales à leur dérivée. Si on se donne la courbe d’une fonction, il est facile de lire l’image d’un point : il suffit de « monter » jusque la courbe et de lire l’ordonnée:Pour lire graphiquement la dérivée, il faut se souvenir que le nombre dérivé en un point n’est rien d’autre que le coefficient directeur de la tangente à en ce point. Vous vous souvenez aussi sans doute de comment lire graphiquement le coefficient directeur d’une droite: on part de n’importe quel point de cette droite, on se décale d’une unité vers la droite et le coefficient directeur est le nombre d’unités qu’il faut parcourir verticalement

Un trop plein de vaches

12 novembre 2017 Commentaires fermés sur Un trop plein de vaches

Dans le célèbre jeu vidéo Minecraft, il existe tout un monde d’être vivants dont des animaux. Il est possible d’interagir avec ces bêtes car on peut les nourrir (ou les tuer, selon votre degré de psychopathie) mais aussi les faire se reproduire. « T’as de beaux meuh tu sais » Par exemple, pour faire se reproduire deux vaches dans ce jeu, il suffit de donner du blé à chacune d’entre elles… et paf, ça fait un bébé vache ! Il n’est pas trop à croquer ce bébé vache ? (dans un bon hamburger). Précisons tout de même que les êtres vivants n’ont pas de genre dans Minecraft et il n’y a ainsi pas de mâle ou de femelle. On peut donc faire se reproduire deux vaches quelconques, à condition qu’elles soient toutes deux adultes (mais pas forcément consentantes…). Une fois que deux vaches ont donné naissance à un bébé, il faut ensuite attendre 20 minutes pour qu’elles puissent à nouveau se reproduire. Vingt minutes, c’est aussi le temps qu’il faut à un bébé vache pour devenir adulte et pouvoir procréer. Si jamais vous avez l’âme d’un éleveur de bêtes, vous pouvez donc vous constituer un beau petit troupeau… mais de quelle taille ?

GaBuZoMeu…GaBuZoMeu

24 septembre 2017 Commentaires fermés sur GaBuZoMeu…GaBuZoMeu

Dans la numération Shadok, il n’y a que quatre chiffres: Ga (zéro), Bu (un), Zo (deux) et Meu (trois). Tous les nombres sont alors fabriqués à partir de ces quatre chiffres selon un système de numération par position: autrement dit, les Shadoks comptent en base 4. Par exemple, le nombre ZoBuMeu vaut . Tout cela est beaucoup mieux expliqué (et surtout de manière beaucoup plus drôle) par les Shadoks eux-mêmes dans la (courte) vidéo ci-dessous: Ce que nous allons voir dans cet article, c’est que les nombres: GaBuZoMeu GaBuZoMeuGaBuZoMeu GaBuZoMeuGaBuZoMeuGaBuZoMeu etc. GaBuZoMeuGaBuZoMeuGaBuZoMeu…GaBuZoMeu (où GaBuZoMeu est répété fois) renferment quelques propriétés insoupçonnées ! Ga) Des exemples pour commencer Le nombre GaBuZoMeu signifie dans notre système décimal La décomposition de GaBuZoMeu en produit de facteurs premiers est donc GaBuZoMeu = . De même, GaBuZoMeuGaBuZoMeu vaut et sa décomposition en produit de facteurs premiers est . Vous avez sans doute deviné le principe: on va décomposer  les nombres GaBuZoMeuGaBuZoMeu…GaBuZoMeu (où GaBuZoMeu est répété fois) en produit de facteurs premiers puis voir ce qui se passe… Bu) Une conjecture Voici donc les résultats obtenus pour les premières valeurs de : On remarque que la décomposition en facteurs premiers des nombres GaBuzoMeu…GaBuZoMeu est assez particulière: elle

Pythagore sous toutes ses formes (géométriques)

13 août 2017 Commentaires fermés sur Pythagore sous toutes ses formes (géométriques)

« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ». Vous connaissez probablement cette phrase par cœur puisque ce n’est autre que l’énoncé du théorème de Pythagore. Pour illustrer ce fameux théorème, on a souvent recours à la figure suivante:Cette figure décrit parfaitement le théorème de Pythagore: le carré reposant sur l’hypoténuse a la même aire que la somme des aires des carrés reposant sur les deux autres côtés, c’est-à-dire . Il y a d’ailleurs des démonstrations du théorème de Pythagore qui reposent sur cette figure et j’en ai mis une en fin d’article si cela vous intéresse… mais si vous préférez le visuel à l’écrit, voici une animation démontrant le théorème de Pythagore. À bas les carrés ! Et si, à la place de carrés, on construisait d’autres formes géométriques sur les côtés d’un triangle rectangle ? Par exemple, si on construit un triangle équilatéral sur chaque côté du fameux triangle rectangle 3-4-5 ™, voici ce qu’on obtient:Sachant que l’aire d’un triangle équilatéral de côté vaut , l’aire du triangle reposant sur l’hypoténuse vaut . La somme des aires des deux autres triangles vaut Tiens, tiens, l’aire du triangle reposant

Des triangles rectangles presque isocèles… à la pelle !

18 juillet 2017 Commentaires fermés sur Des triangles rectangles presque isocèles… à la pelle !

En parcourant le sujet de mathématiques du baccalauréat Scientifique tombé le 21 Juin dernier en métropole et à la Réunion, je suis tombé sur un exercice particulièrement intéressant (non pas que les autres ne le soient pas…) et qui a éveillé m’a curiosité. Il s’agissait du dernier exercice du sujet reservé aux candidats qui ont choisi la spécialité mathématiques, et il portait sur des notions d’arithmétique. Cliquez sur l’image pour voir le sujet. Dans cet exercice on définissait un type de triangle assez particulier: les triangles rectangles presque isocèles (TRPI).  Un TRPI est un triangle rectangle dont tous les côtés ont des longueurs qui sont des nombres entiers, et tel que les deux côtés qui ne sont pas l’hypoténuse ont des longueurs qui diffèrent juste d’une unité (et qui sont donc presque égales, d’où l’appellation « presque isocèles »). Cet exercice faisait prouver aux candidats quelques propriétés d’un TRPI (par exemple que est toujours un nombre impair) et il se terminait en donnant une suite de TRPI. La dernière question faisait d’ailleurs démontrer que le plus petit TRPI dont les longueurs sont toutes supérieures à 2017 est le TRPI qui a pour côtés 4059, 4060 et 5741. Voilà le triangle qui a

2017, année des cubes

1 janvier 2017 Commentaires fermés sur 2017, année des cubes

Une nouvelle année commence, et avec elle son lot de surprises. Qu’est-ce qui nous attend pour 2017 ? C’est ce que nous allons essayer de voir, du moins du point de vue mathématique (car pour le reste, je n’ai toujours pas ouvert mon cabinet de voyance, mais j’y travaille). Ça faisait longtemps  ! Tout d’abord, 2017 est un nombre premier, youpi ! Cela n’était pas arrivé depuis 2011, donc il était temps. La prochaine fois qu’une année sera un nombre premier, ce sera en 2027. De plus, comme 2017 est un nombre premier de la forme (car ), on sait, grâce à un théorème énoncé par Fermat, qu’il peut alors s’écrire comme une somme de deux carrés. Et en effet, Cela n’était pas arrivé depuis 2009 qu’une année puisse se décomposer en une somme de deux carrés et ce sera encore le cas en 2018 et 2020. L’année 2017 est la 622ème année depuis l’an I à pouvoir être décomposée en une somme de deux carrés. C’est pas mal, mais il y a mieux… beaucoup mieux ! Somme de trois cubes Le nombre 2017 peut non seulement se décomposer en une somme de deux carrés, mais aussi en une somme