Un critère visuel de divisibilité par 7

Nous avons (presque) tous appris à l’école Primaire ou au Collège à savoir si un nombre entier donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 6 ou 10. Parfois même, pour les plus chanceux d’entre nous, on nous a appris à reconnaître les nombres qui sont divisibles par 8. Mais s’il y a bien un critère qu’on se garde bien de nous expliquer, c’est celui de la divisibilité par 7.

Est-il vraiment si difficile à faire apprendre ou comprendre aux élèves ? Nous allons tenter de décrire un critère plutôt simple dans cet article. D’ici la fin, vous devriez être capables de dire si 198749502 est divisible par 7 sans avoir fait aucun calcul.

Le critère de divisibilité par 7 que je vais décrire a été posté sans véritable explication par un certain David Wilson sur ce blog. J’avoue ne pas savoir s’il en est l’auteur initial ou si cela est connu depuis bien plus longtemps. Peu importe, vous allez voir, c’est à la fois simple et beau !

Un joli graphe orienté

Voici le très esthétique et mystérieux graphe que nous allons utiliser pour savoir si un nombre est divisible par 7. (Il s’agit d’une reproduction du graphe donné dans le lien sus-mentionné réalisée à l’aide de Tikz).

graphe_divisibilite_par_7Comme vous le voyez, il y a deux types de flèches sur ce graphe: les flèches noires et les flèches bleues. Chaque type de flèche va être utilisé à tour de rôle.

Avant de donner le mécanisme de fonctionnement général, nous allons donner un exemple afin d’illustrer la démarche.

exemple-349-par-7Principe général

Pour savoir si un nombre N est divisible par 7, on effectue les étapes suivantes:

  • Partir du noeud 0
  • Parcourir autant de flèches noires que le chiffre de gauche de N
  • Parcourir une flèche bleue
  • Parcourir autant de flèches noires que le chiffre suivant
  • Parcourir une flèche bleue
  • etc.
  • Parcourir autant de flèches noires que le dernier chiffre de N
  • Si le nœud d’arrivée est 0 alors N est divisible par 7, sinon il ne l’est pas.

En gros, on parcourt autant de flèches noires que chaque chiffre, et on parcourt une flèche bleue chaque fois qu’on change de chiffre. Facile, non ?

Remarque: si à un moment on tombe sur le noeud 0, vu qu’il n’y a pas de flèche bleue partant de ce noeud, on passe directement au chiffre suivant.

Mais pourquoi ça marche ?

J’avoue que la première fois que j’ai vu ce critère, j’étais assez étonné par le caractère quasiment magique de cette recette. Il m’a fallu un bon petit moment avant de comprendre les raisons qui font que cela marche (je suis long à la détente parfois).

Tout se passe modulo 7, comme on pouvait s’y attendre.

Les flèches noires – Leur fonction est très simple. Chaque flèche noire représente l’addition de 1 modulo 7. Par exemple, quand on part du noeud 3 et qu’on parcourt 6 flèches noires, cela correspond à effectuer l’opération 3+6 \mod 7. Comme le résultat de cette opération est 2 \mod 7, on arrive bien au noeud 2.

Les flèches bleues – Pour comprendre leur utilité, partons du noeud 1 et parcourons toutes les flèches bleues. Le cycle obtenu est le suivant: 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1.  Si on observe bien, cela correspond aux différents restes des puissances de 10 modulo 7:

\begin{array}{c|c}  10^k & \text{Reste modulo 7} \\  \hline  10^0 & 1 \\  10^1 & 3 \\  10^2 & 2 \\  10^3 & 6 \\  10^4 & 4 \\  10^5 & 5 \\  10^6 & 1\\  \end{array}

Ainsi, parcourir une flèche bleue revient à multiplier le numéro du noeud sur lequel on se situe par 10 modulo 7.

Résumons:

  • une flèche noire = +1 \mod 7.
  • une flèche bleue = \times 10 \mod 7.

Cela est bien beau mais ne nous explique pas pourquoi on commence par le chiffre le plus à gauche de N, ni pourquoi on parcourt une flèche bleue à chaque changement de chiffre.

Pour tenter d’expliquer cela, reprenons notre exemple N=349. L’astuce consiste à écrire

\begin{array}{ccc}  N &=& 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 9 \\  &=& (((3\times 10 +4) \times 10)+9  \end{array}

et à utiliser les propriétés de compatibilité de l’addition et de la multiplication modulo 7. Ainsi, on commence par calculer 3 modulo 7 (parcours de trois flèches noires) puis à multiplier par 10 modulo 7 (parcours d’une flèche bleue), puis à ajouter 4 modulo 7 (parcours de 4 flèches noires, puis à multiplie par 10 modulo 7 (parcours d’une flèche bleue), et enfin à ajouter 9 modulo 7 (parcours de neuf flèches noires).

Ce graphe nous donne donc plus que la divisibilité par 7 car le résultat final est le reste modulo 7 de N. Si on arrive sur le noeud 0, c’est que N \equiv 0 \mod 7 et donc que N est divisible par 7. Par exemple, le noeud d’arrivée de N=349 est 6, donc 349 \equiv 6 \mod 7 et n’est donc pas divisible par 7.

Pour le plaisir des yeux, voici dans le fichier pdf suivant une animation qui permet de visualiser que 532 est divisible par 7:

Animation de la divisibilité par 7

Alors, 198749502 est-il divisible par 7 ?

Une généralisation

A moindres frais, nous pouvons sur le même principe avoir des critères de divisibilité par 11, 13, 17 etc. car, comme on l’a vu, il suffit de connaître les différents résultats de la multiplication par 10 modulo 11, 13 ou 17.   Voici les graphes obtenus en faisant joujoux avec Tikz:

graphe_divisibilite_par_11graphe_divisibilite_par_13graphe_divisibilite_par_17

Je n’ai pas été au-delà car le nombre de flèches commençait à rendre les graphes assez moches, mais vous avez compris le principe !

Notes:

1) La belle symétrie du graphe pour 11 montre que tout nombre palindrome avec un nombre pair de chiffres est divisible par 11 !

2) Pour les gens intéressés, voici le code Tikz que j’ai écrit pour obtenir ces graphes: http://pastebin.com/nisvHkxQ

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