Science et croyance

“Moi, monsieur, je crois en la science”.  Cette parole de journaliste de plateau télévision rapprochant l’univers de la croyance et celui de la science  est troublant et tient de l’oxymore. Le verbe “croire” est rarement utilisé en mathématiques. Si quelqu’un affirme “je crois que la conjecture de Goldbach est vraie” (c’est-à-dire que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers), cette phrase n’a aucune valeur mathématique car personne n’a jamais démontré ni que cette assertion est vraie, ni qu’elle est fausse.

Science et pseudo-science

Karl Popper (1902-1994)

Quand l’astronomie est une science, l’astrologie est une pseudo-science. De même, la chimie est une science et l’alchimie une pseudo-science. Dans chaque cas particulier, on peut distinguer science et pseudo-science mais quel est le critère permettant de distinguer les deux ?

Pour Karl Popper, la distinction est la réfutabilité. Une science est réfutable, une pseudo-science ne l’est pas. Prenons l’astronomie et le mouvement des objets célestes. Les lois de l’astronomie donnent la position de la Lune (par exemple) à un instant donné. Cette position est facile à vérifier donc à réfuter si elle est fausse.

Le cas de l’horoscope

Les astrologues utilisent des données scientifiques ce qui donne à l’astrologie une allure de science, mais ce n’est en rien une science ! Si deux personnes partagent les mêmes données, elles ont le même horoscope et sans doute pas le même avenir.

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Moi, monsieur, je crois en la science…

Cette affirmation d’un journaliste sur un plateau télévision à propos de vaccination m’a plongé dans des réflexions que je n’attendais pas. Le but de cet article est d’exposer pourquoi, pas d’épuiser le sujet.

La photographie représente Karl Popper (1902 – 1994) qui s’est intéressé à ce qui distingue une science d’une pseudo-science. Pour lui, c’est la réfutabilité : une science est réfutable, une pseudo-science ne l’est pas. 

Un mélange des genres

Le verbe « croire » est peu employé dans le domaine scientifique. Pour donner un exemple, en 1742, Christian Goldbach a affirmé : « tout nombre pair est somme de deux nombres premiers ». Il y croyait mais, à ce jour, personne n’a réussi à prouver ni que cette assertion de Goldbach était vraie, ni qu’elle était fausse. J’oserai par exemple dire : « je crois la conjecture de Goldbach vraie » mais cette croyance sort des mathématiques. En fait, « croire » fait partie du vocabulaire de la religion, pas de la science et encore moins des mathématiques. Dire « je crois en la science » est quasiment un oxymore car la science n’est pas affaire de croyance mais de faits prouvés, ce qui n’exclut pas la possibilité d’erreurs.

Les « fakes news » et l’esprit religieux

On retrouve la structure du religieux dans la lutte contre les « fakes news » où certains, journalistes ou hommes politiques, s’arrogent le droit de dire la vérité au nom de la science sans la moindre habilitation à le faire. L’Eglise catholique est au moins plus honnête quand elle le fait puisqu’elle cite ses sources : le livre (qu’elle considère comme) sacré. Donner le droit à des hommes politiques de dire « la vérité » dans des domaines hors de leurs compétences n’est pas raisonnable. C’est faire un procès sans débat contradictoire où le juge remplit tous les rôles, celui de bourreau compris.

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Enigmes pour extraterrestres

 

Dans l’espoir d’entrer en contact avec des extraterrestres, en 1972 et 1973, les sondes 10 et 11 du programme d’exploration du système solaire Pioneer furent équipées d’une plaque qui voulait décrire l’humanité et son lieu de résidence, la Terre. Sur la droite, un homme et une femme nus, l’homme saluant de la main droite.

En bas, on peut reconnaître le Système solaire avec le Soleil à gauche et neuf planètes : Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton qui, de nos jours n’est plus considérée comme une planète. Un chemin part de la troisième planète (la Terre) et mène à une représentation de la sonde, qui est à l’échelle et permet de connaître la taille moyenne des humains.

Ce nombre indique à quelle distance moyenne se trouve la planète par rapport au soleil, sachant qu’une unité vaut 6 millions de km. Voici les nombres affichés pour les six premières planètes :

Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne
Nombre binaire 1010 10011 11010 100111 10000110 11110111
décimal 10 19 26 39 134 247
distance 60 110 150 230 800 1 400

 

Les autres informations contenues dans la plaque concernent des connaissances en physique, sur l’atome d’hydrogène et en astronomie, sur les pulsars. Les Américains envoyèrent une autre bouteille à la mer interstellaire avec les sondes Voyager 1 et 2 en 1977. Les engins arboraient la plaque et renfermaient un CD avec les instruments pour le lire. La Nasa n’a pas récidivé depuis, peut-être lassée de ne pas recevoir de réponse…

 

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L’angle mystérieux

On donne la configuration suivante où le triangle OAB est isocèle et les angles lambda = 20°, alpha = 60° et bêta = 50° sont donnés.

La figure est volontairement fausse;

Il s’agit de trouver la valeur de gamma.

Faire un dessin correct

Le dessin fourni est grossièrement faux. En vous appliquant avec une règle et un rapporteur, vous trouverez 80°, à moins que cela un nombre très proche bien sûr. Comment savoir ? Pour cela une seule solution : il faut le prouver !

Pour essayer de le faire, vous utiliserez sans doute les relations angulaires classiques (somme des angles d’un triangle, angles opposés, etc.) pour déterminer le plus d’angles possibles. Quoique vous fassiez, vous n’atteindrez pas l’angle cherché de cette façon. Il reste pourtant que cet angle est bien entièrement déterminé.

L’introduction d’un cercle

La notion d’angle est intimement liée aux cercles, il est donc naturel d’en introduire un. C’est donc assez logiquement que nous introduisons le cercle de centre O passant par A et B ce qui nous mène à la figure suivante :

Si on construit le polygone régulier de centre O et d’angle au centre AOB, on s’aperçoit que la droite IJ semble couper le cercle en deux points du polygone M et N. De même AJ et BI en C et D.

Admettons que nous ayons réussi à le prouver, en utilisant les relations dans le triangle OIN, nous trouvons :

OIN = 180 – ONM – ION

Or, en utilisant les angles au centre ainsi que les angles inscrits :

ONM = 30 et ION = 100 donc OIN = 50. On en déduit le résultat.

Le nœud de la preuve

Il reste donc à prouver que la droite IJ coupe effectivement le cercle en M et N. Nous pouvons oublier les points C et D puisqu’ils n’interviennent pas pour démontre le résultat final. Il s’agit donc de montrer que les points du polygone M et N et les points I et J sont alignés.

Pour cela, on constate d’abord que le triangle OAJ est isocèle (angles en O et A égaux à 30° donc OJ = JA. D’autre part, JA = JB’ par symétrie donc OJ= JB’ d’où l’on déduit que J appartient à la médiatrice de OB’ c’est-à-dire  à MN.

Enfin IMA = IBA = 50° (symétrie) et de même NMA = 50° (angle inscrit. Il en résulte que I appartient à MN. Nous avond démontré que les quatre points M, N, I et J sont alignés. Le résultat s’ensuit.

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Jeter le masque ?

La seule méthode de chiffrement démontrée inviolable est le masque jetable … dont il est impératif qu’il soit jeté après un seul usage. Avant d’expliquer pourquoi, il nous faut dire de quoi il s’agit.

Chiffrement par substitution

La méthode de substitution la plus ancienne est attribuée à Jules  César, elle consiste à décaler les lettres du message d’un certain nombre. Si on choisit un décalage d’une lettre, “cesar” devient “dftbs”. Pour un décalage de deux lettres, nous obtenons “eguct” et ainsi de suite. On peut complexifier ce chiffrement en changeant de décalage à chaque lettre, la suite de décalages est la clef de chiffrement. Si on utilise l’alphabet latin (de A à Z), qu’on peut assimiler aux nombres de 0 à 25, ce la donne.

 

Clair V O I C I L E C L A I R
Clef C E L A E S T L A C L E
Chiffré X S T C M D X N L C T V

 

Chaque décalage correspond à une addition. Pour la première colonne V + C correspond à 21 + 2 = 23 soit X et ainsi de suite. Quand on obtient un nombre supérieur ou égal à 26, on lui retranche 26. Par exemple, à la sixième colonne, L + S correspond à 11 + 18 = 29 reste 3 d’où L + S = D.

Le masque jetable

Plus la clef est longue plus ce chiffre par substitution poly-alphabétique est difficile à décrypter. En 1917, Gilbert Vernam en conclut que l’idéal était que la clef soit aussi longue que le message. Joseph Mauborgne remarqua plus tard qu’il valait mieux qu’elle soit aléatoire et par voie de conséquence qu’on ne l’utilise qu’une fois. En 1949, en créant la théorie de l’information, Claude Shannon démontra que ce chiffre était inviolable. C’est le seul dont on ait démontré qu’il soit indécryptable.

Claude Shannon et une de ses créations : la souris qui sort seule d’un labyrinthe.

Les mésaventures des Soviétiques

Les Soviétiques firent l’erreur d’utiliser deux fois la même clef dans les années 1930 d’après les archives britanniques. Ils persistèrent dans leur erreur après la guerre ce qui facilita le projet Venona américain de décryptement des messages des services de renseignements soviétiques. Trois mille messages furent ainsi décryptés totalement ou partiellement. Une des conséquences a été la détection d’espions soviétiques comme les époux Rosenberg et les cinq de Cambridge dont le célèbre agent double Kim Philby. Cette faiblesse du masque jetable, que Claude Shannon a montré inviolable rappelle la différence entre théorie et pratique et surtout qu’un théorème de mathématiques a des hypothèses strictes, ici le côté aléatoire des clefs et leur utilisation unique. On ne peut l’utiliser en dehors de ses conditions d’application, même si la question est tentante pour qui ne domine pas ces questions.

La faille …

Si on utilise deux fois la même clef, il suffit de faire la différence des deux chiffrés pour faire disparaître la clef. Plus précisément, on obtient le premier message chiffré avec une clef liée au second message. On utilise alors la méthode du mot probable pour décrypter le tout.

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Valérie Cheno et la femme de Vitruve

L’homme de Vitruve, un dessin exécuté par Léonard de Vinci (1452 – 1519) d’après le texte de Vitruve sur les proportions, un architecte romain du premier siècle avant Jésus-Christ, est mondialement connu mais qui connait la femme de Vitruve ? Albrecht Dürer (1471 – 1528) en a dessiné une.

Une femme de Vitruve en acier

L’idée est toujours vivante : Valérie Cheno (née en 1968) une sculptrice contemporaine en a créé une en acier.

Femme de Vitruve par Valérie Cheno.

L’homme de Vitruve, et donc la femme de Vitruve également, étant lié à une question mathématique, nous avons découvert que Valérie Cheno avait une formation scientifique ce qui lui sert également à équilibrer ses œuvres et sans doute explique aussi son monde imaginaire fait de lutins de couleur bleue .

Les lutins autour de la piscine

Lors de l’exposition aux Sources à Antibes, l’essentiel de ses œuvres ont été disposées le long d’un parcours autour de la piscine. Nous vous laissons en découvrir une partie ici.

Le grand personnage montre bien la difficulté de l’équilibrage des statues : le centre de gravité doit se trouver à la verticale de la base.
Une statue dans la piscine.

On verra davantage de sculptures, et également des bijoux de Valérie Cheno sur son site : www.cheno.fr

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Les grands nombres … et les petits

Dans la vie courante, nous avons rarement besoin d’aller au-delà des mille milliards qui, forcément, font penser aux mille milliards de mille sabords du capitaine Haddock, le célèbre compagnon de Tintin.

Nicolas Chuquet (1445 – 1500) inventa pourtant un système pouvant aller bien au-delà. Dans son livre Triparty en la science des nombres, il forgea de nouveaux noms de nombres sur des préfixes correspondants à deux, trois,…, neuf : billion, trillion, quatrillion, quintillion, sextillion, septillion, octillion, nonillion. Le premier (un billion) est un million de millions, chacun est ensuite égal à un million de fois le précédent. Ce système est appliqué en Europe sauf dans les pays de langue anglaise car, malheureusement, les États-Unis ont adopté un système différent où chaque quantité est égale à mille fois la précédente. Ainsi, un billion américain vaut mille millions français donc à un milliard et ainsi de suite. D’autre part, on utilise aussi des préfixes comme déca, hecto, kilo, méga, etc. (voir le tableau système de noms des grands nombres). Ainsi, un kilogramme vaut 1000 grammes, etc. Les premiers ont un sens qui vient du grec où déka signifie dix, ékaton, d’où viennent les hécatombes, cent, kilo, mille, mégas, d’où vient mégalomane, grand, gigas, d’où vient gigantesque, géant, téras d’où vient la tératologie, monstre. Les autres donnent, toujours en grec, la puissance de 1000 utilisée. Ainsi péta vient de penté, qui signifie 5 et qui a donné pentagone, mais pas Pétaouchnock qui, bien qu’imaginaire est censée être une ville très éloignée, quelque part au fin fond de la Sibérie. Exa vient de hexa, qui signifie 6 et qui a donné hexagone. Les derniers sont là pour 7 (zetta) et 8 (yotta) mais sont artificiels.

Nom français Nom américain Préfixe Symbole Valeur
dix déca da 10
cent hecto h 100
mille kilo k 1000
million méga M 1 000 000
milliard billion giga G 1 000 000 000
billion trillion téra T 1 000 000 000 000
billiard quadrillon péta P 1 000 000 000 000 000
trillion quintillion exa E 1 000 000 000 000 000 000
trilliard sextillion zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 000
quadrillon septillion yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 000

Le système de noms des grands nombres va au-delà mais les nombres deviennent alors sans véritable utilisation concrète. On peut alors simplifier les mille milliards de mille sabords du capitaine Haddock en un seul péta sabord… mais ce serait moins musical et pourrait être mal interprété.

Les financiers utilisent parfois des expressions telles que kiloeuros (k€) ou millions d’euros (M€), qu’ils seraient plus logique de nommer mégaeuros vu le symbole M utilisé, mais cela n’apparaît pas normalement dans les comptes bancaires des particuliers. Sauf en période d’hyper inflation, comme en Allemagne en 1923 où on imprima des billets de 500 millions de marks, ou au Zimbabwe en 2009 où on alla jusqu’à 100 000 milliards, soit 100 trillions au sens anglo-saxon (voir la photographie un billet sans valeur), les particuliers n’ont pas besoin d’envisager des sommes supérieures au milliard français, donc au billion américain… et les États, guère plus.

Un billet sans valeur

En informatique, l’usage du système binaire fait que les préfixes ont un sens légèrement différent. Kilo signifie alors 1024 car ce nombre est égal à 2 à la puissance 10, méga vaut 1024 kilo, giga, 1024 méga, téra, 1024 giga et péta, 1024 téra, etc.

Les petits nombres

Pris à l’envers, ce système permet également de visiter l’infiniment petit (voir le tableau système de noms des petits nombres). Ici encore, les préfixes ont un sens. Les premiers viennent du grec où micro signifie petit et nano, nain. On passe ensuite à l’italien où piccolo, qui signifie petit, a donné pico. Les autres sont artificiels.

 

Nom français Nom américain Préfixe Symbole Valeur
dixième déci d 0,1
centième centi c 0,01
millième milli m 0,001
millionième micro m 0,000 001
milliardième billionième nano n 0,000 000 001
billionième trillionième pico p 0,000 000 000 001
billiardième quadrillonième femto f 0,000 000 000 000 001
trillionième quintillionième atto a 0,000 000 000 000 000 001
trilliardième sextillionième zepto z 0,000 000 000 000 000 000 001
quadrillonième septillionième yocto y 0,000 000 000 000 000 000 000 001

Système de noms des petits nombres. Le système va au-delà mais les nombres deviennent alors sans véritable utilisation concrète.

 

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Le théorème de la médiane

Par les idées qu’elle mobilise, la démonstration du théorème de la médiane est plus intéressante que le résultat lui-même. C’est cependant naturellement que nous commencerons par l’énoncer.

Enoncé

On considère un triangle ABC, I le milieu du côté BC. AI est donc une médiane du triangle. La formule suivante permet de calculer sa longueur :

Démonstration

Une idée simple pour démontrer ce théorème est d’utiliser la notion de vecteur car :

En utilisant la notion de produit scalaire, on obtient :

En faisant la somme et en utilisant la relation :

On obtient :

Comme :

On en déduit le résultat.

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Le salon de la culture et des jeux mathématiques 2020

Depuis l’an 2000, fin Mai, place saint Sulpice à Paris le salon de la culture et des jeux mathématiques se propose de présenter les mathématiques sous forme tout à la fois ludique et utile. Il attire ainsi chaque année de l’ordre de 20000 personnes, élèves, étudiants, professeurs, parents et passants.

Vue d’une allée du salon

Cette année 2020, la crise sanitaire a mené à son interdiction. Les organisateurs ont décidé de le dématérialiser. Il est donc ici : http://salon-math.fr/ du 28 au 31 Mai.

Comme chaque année, j’y suis responsable d’un stand dédié à la cryptologie et à la cybersécurité, celui de l’ARCSI (association des réservistes du chiffre et de la sécurité de l’information) dont je suis administrateur.

Ci-dessus, j’explique le fonctionnement d’une C-36, machine à chiffrer française de la Seconde Guerre mondiale à Cédric Villani sous l’œil bienveillant du général Jean-Louis Desvignes, président de l’ARCSI.

Nous y organisons des visio-conférences dont la liste et les horaires se trouvent en ligne de même que quelques curiosité et énigmes. Personnellement, j’en donne quatre :

28 Mai 10H-10H 30 Les correspondances personnelles chiffrées du Figaro en 1890
29 Mai 11H-11H 30 La faiblesse du chiffre de l’armée napoléonienne
30 Mai 11H-11H 30 Le chiffre de Marie-Antoinette
31 Mai 11H-11H 30 Les erreurs de cybersécurité sont avant tout humaines

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Compter les grains de sable avec Archimède

Archimède (287 – 212 avant Jésus-Christ) inventa une méthode pour décrire les grands nombres dans un but purement théorique, pour montrer que le nombre de grains de sable contenus dans l’univers n’était pas infini, mais juste très grand. C’est d’ailleurs ainsi que commence l’Arénaire :

Il est des personnes, ô roi Gélon, qui pensent que le nombre des grains de sable est infini. Je ne parle point du sable qui est autour de Syracuse [mais] d’un volume de sable qui fût égal à celui de la Terre.

Pour cela, Archimède commence par évaluer le périmètre de la Terre, en voulant être sûr que la mesure réelle soit inférieure à celle qu’il donne, il multiplie donc par dix les mesures connues :

Cela posé, que le contour de la Terre soit à peu près de trois cent myriades de stades mais non plus grand. Car tu n’ignores point que d’autres ont voulu démontrer que le contour de la Terre est à peu près de trente myriades de stades.

Dans le système de numération grec, la myriade était l’unité suivant directement le millier. Elle valait donc dix mille. Le stade est une mesure que nous avons tous en tête car elle a donné la longueur de nos stades. Il mesurait donc un peu moins de 200 mètres, mais cela importe peu ici. À partir de ces données, il est possible de calculer le volume de la Terre. Archimède évalue alors que, dans un volume équivalent à une graine de pavot, il n’y a pas plus d’une myriade de grains de sable, avant de constater qu’il fallait aligner 40 graines pour obtenir la largeur d’un doigt. Archimède a alors tous les éléments pour faire son calcul. Il lui manque simplement un système de numération.

Le système de numération d’Archimède

Archimède commence par décrire le système en usage en Grèce à son époque :

On a donné des noms aux nombres jusqu’à une myriade et au-delà d’une myriade, les noms qu’on a donné aux nombres sont assez connus, puisqu’on ne fait que répéter une myriade jusqu’à dix mille myriades.

Il en fait la base de son système :

Que les nombres dont nous venons de parler et qui vont jusqu’à une myriade de myriades soient appelés nombres premiers [pas dans le sens actuel], et qu’une myriade de myriades des nombres premiers soit appelée l’unité des nombres seconds ; comptons par ces unités, et par les dizaines, les centaines, les milliers, les myriades de ces mêmes unités, jusqu’à une myriade de myriades.

Ces nombres premiers et seconds permettent d’aller jusqu’aux milliers de billions de Nicolas Chuquet, soit jusqu’aux billiards ! (voir le tableau équivalents des nombres premiers et seconds dans le système de Nicolas Chuquet).

nombres rang noms équivalent Chuquet
premiers 1 unités unités
2 dizaines dizaines
3 centaines centaines
4 milliers milliers
5 myriades dizaines de milliers
6 dizaines de myriades centaines de milliers
7 centaines de myriades millions
8 milliers de myriades dizaines de millions
seconds 9 unités centaines de millions
10 dizaines milliards
11 centaines dizaines de milliards
12 milliers centaines de milliards
13 myriades billions
14 dizaines de myriades dizaines de billions
15 centaines de myriades centaines de billions
16 milliers de myriades billiards

Équivalents des nombres premiers et seconds dans le système de Nicolas Chuquet.

Archimède continue de même pour définir les nombres troisièmes et ainsi de suite. Il atteint les limites du système de Nicolas Chuquet, soit le nonillion, avec la centaine de myriade des nombres septièmes du premier ordre ! Il continue jusqu’aux nombres huitièmes :

Qu’une myriade de myriades des nombres seconds soit appelée l’unité des nombres troisièmes ; comptons par ces unités, et par les dizaines, les centaines, les milles, les myriades de ces mêmes unités, jusqu’à une myriade de myriades ; qu’une myriade de myriades des nombres troisièmes soit appelée l’unité des nombres quatrièmes ; qu’une myriade de myriades de nombres quatrièmes soit appelée l’unité des nombres cinquièmes, et continuons de donner des noms aux nombres suivants…

Archimède appelle « première période », les nombres qu’il a définis jusqu’aux nombres huitièmes et commence une seconde période :

Quoique cette grande quantité de nombres connus soit certainement plus que suffisante, on peut cependant aller plus loin. En effet, que les nombres dont nous venons de parler soient appelés les nombres de la première période, et que le dernier nombre de la première période soit appelé l’unité des nombres premiers de la seconde période. De plus qu’une myriade de myriades des nombres premiers de la seconde période soit appelée l’unité des nombres seconds de la seconde période…

En faisant des calculs d’ordre de grandeurs, pour l’univers, tel qu’il était vu à son époque, Archimède trouve :

il s’ensuit que le nombre des grains de sable contenus dans une sphère aussi grande que celle des étoiles fixes supposée par Aristarque, est plus petit que mille myriades des nombres huitièmes.

Cela fait beaucoup plus que l’on ne peut compter dans le système de Nicolas Chuquet d’origine, puisque ce nombre est égal à 1 suivi de 63 zéros ! Si on le prolonge par des décillions valant chacun un million de nonillions, ce nombre est égal à 1000 décillions. On peut comparer au nombre estimé d’électrons de l’univers, qui est égal à 1 suivi de 81 zéros, ce que l’on note 1081. Dans le système d’Archimède, ce nombre vaut une dizaine des nombres troisièmes de la seconde période.

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