Comptez bien, etc.

Mon mari avait effectué des recherches conséquentes sur un prêtre du XIXe siècle, l’abbé Guiot. Cela nous avait mené à de très belles aventures, entre exploration des archives pour dénicher n’importe quelle mention du monsieur aux archives de l’Orléanais, avec nos enfants, jusqu’à des rencontres inattendues dans de tout petits villages. Il a écrit ce qui pourrait devenir une publication, avec tout ce qu’il a recueilli. En cette fin d’année, mon mari est tombé sur plusieurs objets qu’il a acquis : un bouton de la première version de l’uniforme des élèves du petit séminaire de La Chapelle Saint–Mesmin où l’abbé Laurent Guiot a enseigné de 1846 à 1852 et une édition originale de l’histoire du petit séminaire où il a été professeur, par Emile Huet, un ancien élève.

Ce matin, mon mai m’en a fait lire deux pages, parfaitement effrayantes :

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Le DNB 2022, pas entièrement original

Des collègues ont remarqué des similitudes (le mot est faible) entre deux exercices du sujet de maths du DNB d’aujourd’hui et des exercices déjà existants. Certains d’entre eux les avaient donnés à leur élèves, en classe ou en devoir maison. Il me semblait qu’il fallait être original dans les productions d’exercices d’examen ; mais mes souvenirs datent et peut-être les règles ont-elles changé, après tout. La question se pose plutôt pour le principe, car cela ne changera rien au DNB ni à l’avenir scolaire des candidats. Mais ce soir je vois des échanges perplexes sur les groupes de pros de maths.

Dans le manuel Sesamaths, on trouve, à la page 309 de la version cycle 4, l’exercice 1 en partie :

Sur l’IREM de Clermont Ferrand, on trouve la situation de l’exercice 5 (avec des différences) :

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L’épreuve de mathématiques du DNB métropole 2022

Bon ça c’est fait, nos élèves ont passé leur épreuve. Dans la salle que je surveillais, les 14 élèves ont bien travaillé. Certains sont restés jusqu’à la fin du temps alloué, deux avaient terminé en moins d’une heure en ayant tout traité. Le sujet m’a paru simple sans être élémentaire, avec beaucoup de thèmes abordés :

Exercice 1 : Géométrie plane (propriétés, Thalès, Pythagore), proportionnalité, vitesses.

Exercice 2 : transformations, fonctions, médiane d’une série statistique, triangles semblables, agrandissements-réductions.

Exercice 3 : arithmétique, probabilités.

Exercice 4 : calcul littéral (dont équations), aire, programmation.

Exercice 5 : unités quotient, proportionnalité, volume du cylindre, pourcentages

Comme des élèves m’ont demandé une correction, voilà :

Je peux toujours avoir commis des étourderies, car j’ai résolu en vitesse. Si c’est le cas, dites-moi. Mes choix de rédaction ont été faits en fonction des élèves qui me demandaient une correction.

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Est-ce que ça cloche?

Une collègue est venue me voir tout à l’heure avec son livre en cours.

Regarde, m’a-t-elle dit, sur cette double page il y a des trucs que je ne sens pas. Je ne sais pas quoi, mais quelque chose me chiffonne. C’est bon tout ca ???

J’ai lu, calculé un peu, et à un arrondi près je suis d’accord. Voyez-vous une erreur, vous, car une autre collègue en a trouvé plusieurs mais j’ignore lesquelles.

En tout cas, j’aime beaucoup la question de ma collègue lectrice !

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Carré, rectangle : oui mais en maternelle ?

J’ai écrit un article plus tôt sur carré et rectangle ; et lorsque je l’ai écrit, je n’ai pas compris que l’exercice s’adressait à des élèves de cycle 1. Du coup, mon article ne répond pas à la problématique (mais à une autre) : en cycle 1, difficile de commencer à parler de cas particuliers…

J’ai donc réfléchi dans le sens du cycle 1. Le programme indique :

Très tôt, les jeunes enfants discernent intuitivement des formes (carré, triangle, etc.)

https://eduscol.education.fr/document/7883/download

Le « etc. » est source de perplexité… mais ensuite c’est plus explicite :

L’enseignant utilise un vocabulaire précis (cube, boule, pyramide, cylindre, carré, rectangle, triangle, cercle ou disque – à préférer à « rond ») que les enfants sont entraînés ainsi à comprendre d’abord puis à progressivement à utiliser.

https://eduscol.education.fr/document/7883/download

En fin de maternelle, les enfants doivent :

Savoir nommer quelques formes planes (carré, triangle, cercle ou disque, rectangle) et
ce dans toutes leurs orientations et configurations.

https://eduscol.education.fr/document/7883/download

Alors comment faire en cycle 1 pour permettre aux enfants de nommer carrés et rectangles sans contribuer à construire des représentations fausses tenaces ? Pas fastoche, et j’avais bien botté en touche dans mon précédent article.

Je pense que justement tout réside dans le fait de botter en touche d’un côté en étant explicite de l’autre :

  • Botter en touche en évitant des consignes qui mélangent carrés et rectangles. On peut proposer aux élèves d’identifier des rectangles parmi des choix de rectangles (non réguliers), de triangles, de cercles, de polygones à strictement plus de quatre côtés.
  • Etre explicite en « comparant les coins » : « tiens, vous avez vu, les coins du carré et les coins de ce rectangle sont tous les quatre les mêmes ! Ca leur fait un point commun, quand même ! » On pourrait même envisager, pour les enfants qui y sont prêts, à parler d’une famille qui regroupe « ces rectangles et les carrés » : la famille des figures à quatre côtés et à quatre coins droits. Ensuite, il est possible de discriminer ceux qui ne sont pas des carrés.

Ce n’est vraiment qu’une proposition, mais que j’ai déjà animée dans plusieurs classes de cycle 1, en allant parfois plus loin encore, avec certains élèves ou le groupe (et parfois pas). L’objectif serait « juste » de naviguer en n’ancrant pas des représentations mentales fausses, sans catégoriser en opposant. Mais on est d’accord, c’est du travail d’équilibriste : difficile de conjuguer cet objectif avec l’objectif d’acquisition du vocabulaire… La didactique de maternelle est bien, bien délicate (et passionnante) !!!

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Shadow glyphs

Attention, pépite!

Stéphane Robert m’a envoyé ce jeu. Je l’avais conservé à la maison car ma fille voulait l’essayer, et j’ai bien fait : il fera partie des nouveautés de la ludothèque de l’année prochaine, en guest star. C’est un jeu simple, qui fait cogiter, où les rétroactions sont possibles, que l’on peut jouer ponctuellement ou de façon continue grâce au mode aventure, avec des objets magiques à gagner pour soutenir la quête. Shadow Glyphs se joue seul, mais on a le droit de demander de l’aide à un ami… ou à son mari ! Le jeu est édité par LogiQuest et distribué par Asmodée.

Le contenu de la boîte de jeu

Il s’agit de placer des blocs de façon à voir, une fois la lumière du mini projecteur allumée, la forme dessinée sur la carte glissée dans le support. J’ai démarré avec la carte 1 :

Alors personnellement, j’ai galéré comme une malade. J’ai rapidement compris que ce bloc était nécessaire, mais j’ai déjà dû allumer la lumière pour m’assurer qu’il était sur la bonne rangée : un moment d’appropriation du cône lumineux, des déformations induites, est nécessaire.

Ensuite, je ne savais vraiment pas quoi faire, jusqu’à ce que je lise mieux les règles du jeu et que j’identifie les blocs nécessaires, qui figurent en haut à droite de la carte. Tout de suite, je me suis sentie mieux… Cependant, j’ai dû me corriger car je m’étais trompée de rangée, toujours à cause d’une mauvaise anticipation du cône de lumière, que j’imaginais différemment. C’est avec la lumière allumée que j’ai déplacé la pièce la plus près de moi : je pensais qu’elle serait entièrement occultée par la pièce de la rangée 2, mais non !

Conclusion : un jeu très simple, rapide à expliquer, qui permet de travailler les projections, les alignement, les anamorphoses. Faire verbaliser les essais-erreurs est à mon avis très intéressant avec des élèves. Génial, quoi.

Merci encore, Stéphane !!!

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Fichus rectangles ! Heu, non fichus carrés ? Ah, zut !

Matthieu Drillet a publié un tweet d’une copie de son enfant. Il a écrit en commentaire « J’aurais préféré que ma fille n’ait pas eu TB » :

https://pbs.twimg.com/media/FWWiWVQXgAA61ax?format=jpg&name=4096×4096

Préambule : Matthieu ne fait de procès à personne. Il ne prend pas le professeur de son enfant pour un(e) idiot(e). Il regrette juste que la formation ne soit pas suffisamment conséquente et efficace pour éviter ce type d’erreur. Alors tout le monde se détend, et on discute.

Ici, on est devant un obstacle classique et résistant. Se tromper dans ce cadre a du sens. Nous sommes nombreuses et nombreux à avoir appris les rectangles et les carrés de façon « étanche ». Nous avons donc construit nos « définitions » : « un rectangle est un quadrilatère à quatre angles droits, avec deux largeurs et deux longueurs », ou bien « avec deux côtés opposés d’une longueur, et les deux autres d’une autre longueur », voire « avec les deux horizontales d’une longueur, les deux verticales d’une autre ». Le carré, lui, a « quatre angles droits et quatre côtés égaux ».

Or, pour le rectangle, c’est faux. Et pour le carré ce n’est pas une « définition minimale ». Le rectangle est un quadrilatère qui possède trois angles droits et le carré est, par exemple, un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux. Mais on peut choisir bien d’autres définitions, minimales elles aussi.

Quatre questions se posent, selon moi :

  1. Pourquoi ça fâche ?
  2. Est-ce vraiment important, tout ça ?
  3. Quels sont les enjeux ?
  4. Et alors, on fait comment pour éviter des constructions erronées ?

1. Pourquoi ça fâche ?

Parce que ça vexe, ça complexe, ça culpabilise : j’ai raconté une bêtise, je raconte une bêtise depuis longtemps, je n’ai pas fait ce que j’aurais dû, voire pire : je ne suis pas capable de…

C’est rendu encore plus douloureux lorsqu’on est enseignant : on est censé être détenteur des savoirs curriculaires, et transmettre des connaissances fausses est naturellement source d’une grande frustration, car on veut bien faire son travail.

Et pourtant, des bêtises, nous en disons et nous en faisons toutes et tous. Construire un rapport à l’erreur harmonieux, équilibré, sans culpabilisation excessive ni décontraction exagérée est difficile. Mais c’est crucial, ne serait-ce que pour pouvoir être vraiment bienveillant (exigence incluse, évidemment) devant les erreurs des élèves.

2. Est-ce vraiment important, tout ça ?

Tout dépend de ce qu’on entend par « important ». Est-il plus grave de croire que la Terre est plate, d’appeler systématiquement une chaise un tabouret, ou de penser qu’un carré n’est pas un rectangle ? Tout dépend sans doute du contexte. Mais tout de même, oui, c’est important. Ce n’est pas important dans le sens de rectification d’une erreur isolée. C’est important dans un sens émancipateur. Accepter des élèves, et donc de personnes, que boah-c’est-pas-si-grave-on-s’en-moque-un-peu-au-final-de-toute-façon-dans-la-vie-ça-va-changer-quoi-?, c’est aussi ne pas tout à fait les respecter. Ils méritent cette exigence, justement, indispensable à un enseignement de qualité. Dans la vie courante, on est d’accord, assez peu d’individus vont voir leur vie basculer pour cause de confusion géométrique. En revanche, l’accès à l’abstraction est impacté, pas seulement par cet exemple précis (carré vs rectangle), mais par ce qu’il porte quant au rapport à l’abstraction et à la construction du raisonnement. Cela m’amène au point suivant.

3. Quels sont les enjeux ?

Ils sont multiples et je vais essayer de faire court. Les mathématiques contribuent particulièrement (mais pas seulement : la philosophie aussi, et d’autres disciplines encore) à la construction de l’abstraction. Elle y contribue par le biais d’un langage particulier, qui passe par des figurés, du lexique et des éléments sémiotiques. En mathématique, dire qu’un rectangle est un quadrilatère qui possède trois angles droits ne signifie pas qu’on pense qu’il n’a que trois angles ou que le quatrième n’est pas droit. Cela signifie qu’il a au moins trois angles droits. En fait, s’il en a trois, il en a forcément quatre, alors dans un souci de minimalisme (prouver pour trois est plus rapide) on se contente de trois (c’est nécessairre, et aussi suffisant). De même, « définir » un carré par une liste de propriétés certes vraies, mais équivalentes, ce n’est pas définir. C’est énumérer des propriétés, ce qui est utile aussi, mais différent.

Ainsi, il y a la question de ce qu’est une définition. C’est important dans la vie de tous les jours, ça. A partir de quel moment puis-je nommer quelque chose ? Lorsque j’ai vérifié que sa caractérisation renvoie à ce mot. C’est transférable dans tous les domaines et cela permet la communication sans interférences, sans informations inutiles qui noient l’indispensable. C’est aussi ce qui permet d’accéder à l’idée d’argument, sans pencher vers l’opinion. On touche à la logique : à quel moment prononcer légitimement ce terrible « donc » utilisé à toutes les sauces à l’oral ? Qu’est-ce qui entraîne quoi ? Où sont les causes, les conséquences, le nécessaire, le suffisant ? Soyons honnêtes : pour penser de façon claire et argumenter solidement, quel que soit le contexte, on est plus robuste en sachant définir et lier les concepts entre eux. Les mathématiques y aident grandement. Dans cette perspective, ce ne sont pas les objets étudiés qui ont le plus d’importance, mais ce pourquoi on les étudie (le choix des objets étudiés a aussi de l’importance, dans une perspective différente).

Il y a aussi la question de l’abstraction. Quand un enfant (ou un adulte) se réfère à la verticalité et l’horizontalité, cela dit quelque chose de sa pensée. Elle en est à un certain point, et il est utile pour l’enfant d’avancer plus loin. Quand on montre en sixième un morceau de papier coloré de forme carrée placé de façon prototypique (avec un côté parallèle au sol), les élèves disent « carré ». Quand, devant eux, on effectue une rotation de 45°, une partie importante des élèves disent « losange ». Ils voient bien que c’est le même bout de papier. Mais une petite rotation les fait irrésistiblement énoncer un mot différent. Certains sont perplexes devant ce réflexe, d’autres pas. Notre rôle est, à partir de là où ils en sont, quel que soit leur âge ou leur niveau de classe, de les amener à progresser en ayant accès à l’abstraction : réussir à parler géométrie sans recours immédiat ou systématique à la figure choque souvent ; c’est pourtant un bon exercice intellectuel, que nous pratiquons au quotidien avec les nombres. Car 2, ce n’est pas « 2 pommes ». Le nombre aussi est une abstraction.

C’est bien normal et naturel de se rapporter à des cas concrets. Mais ces cas concrets ne définissent pas les concepts. Ils les illustrent.

4. Et alors, on fait comment pour éviter des constructions erronées ?

Je n’ai pas de recette magique (même si multireprésenter est un bon appui), et je le regrette. Mais j’ai des idées et des pratiques pour aider.

D’abord, partir du principe qu’on va loin d’emblée. Pas n’importe comment, pas n’importe quand. Mais avec tout le monde. Ensuite, si nécessaire, on simplifiera pour celles et ceux qui n’accèdent pas à ce qu’on propose, pour alors les hisser au plus haut à ce moment de leurs apprentissages et de leur parcours de vie. Mais enfin, on ne va pas se contenter de peu, quand même !

Ensuite, discuter de ce que sont les définitions, les propriétés, montrer qu’on peut choisir des définitions différentes pour un même objet, débattre de celle qui semble la plus adéquate à tel ou telle. Par exemple, il y a quelques années, mes collègues de maths et moi nous étions aperçues que nous ne donnions pas la même définition d’un parallélogramme : « un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles » (pour le lien avec le mot), « un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu » (pour le lien avec la symétrie centrale et l’importance de cette propriété), « un parallélogramme est un quadrilatère dont deux côtés opposés sont parallèles et de même mesure » (parce que les élèves zappent souvent cette entrée). J’avais trouvé ça super, en fait : depuis, j’en parle chaque année à mes élèves de cinquième, pour leur montrer comment on est libre de faire des choix justifiés, et là où ne peut pas aller parce que ce n’est pas correct. Nous parlons condition nécessaire, condition suffisante, équivalence, sans forcément le modéliser ou le formaliser (parfois oui, cependant), mais pour construire la pensée, pour donner des outils pour réfléchir et au final pour comprendre seul. De toute façon c’est toujours seul qu’on comprend, et c’est bien pour cela que démontrer en maths est une joie si intime. Mais on peut y être aidé : c’est moi qui monte à l’échelle, mais on m’a apporté le bon modèle d’échelle en fonction de mon objectif.

J’en reviens à mes carrés et à mes rectangles. On peut toujours déconstruire pour reconstruire. Il faut soulever le capot et démonter tout le moteur, mais on y arrive. C’est beaucoup plus difficile que si on a tout construit ensemble dans la continuité, évidemment, et éminemment plus long. Je pense qu’une solution ici est de procéder à la Brissiaud comme dans Picbille (Retz, CP) :

La seule chose que je n’ai pas ici, c’est que les rectangles soient opaques, ce qui privilégie la vision surfaces et ne permet pas de développer la vision lignes ou la visions points, qui seront essentielles plus tard. Mais là, Rémi Brissiaud donne la possibilité de raisonner, de faire des liens, d’inclure immédiatement les carrés dans les rectangles.

Ensuite il faudrait que cette entrée soit stable au fil de la scolarité (la question du cycle 1 se pose également). Et ça, c’est très compliqué. En particulier parce que la formation n’a pas les moyens de transmettre tout ce qui serait nécessaire. Et aussi parce que les maths ne font pas partie de la culture générale pour beaucoup, en particulier pour celles et ceux qui décident, souvent parce qu’eux-mêmes ne sont pas compétents en maths et choisissent la solution de facilité : puisque je peux m’en passer, c’est que c’est inutile.

Bel exemple de raisonnement de travers. Ca aurait été mieux avec un peu de maths, sans doute. Ca aurait aussi été mieux si on cherchait à avancer toutes et tous ensemble.

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ScratchGGb

ScratchGGb est une application en ligne développée par Patrick Raffinat (que je connais par Mathematice). Cette application permet de construire une figure géométrique GeoGebra en programmant par blocs. Cela m’a intriguée et attirée, et connaissant Patrick je me suis dit que cela sentait la pépite, alors je suis allée voir.

J’ai essayé l’activité du robot. C’est en effet tout à fait super : les élèves utilisent en même temps un environnement scratch et GeoGebra, et on réfléchit différemment. J’ai noté sur ma lite pour l’été de réfléchir à comment intégrer cet outil dans mes programmation. J’ai juste été embêtée à un moment, car l’application ne reconnaissait pas mon quatrième sommet de carré. J’ai dû faire une bêtise mais je n’ai pas trouvé laquelle (j’ai procédé par l’intersection de du cercles, comme sur l’image de droite ci-dessous). Ce qui est vraiment chouette, ces ont les étapes écrites sur l’écran, qui guident et permettent sans doute une très grande autonomie des élèves. J’ai hâte de faire essayer à mes classes, et peut-être le ferai-je la semaine prochaine d’ailleurs.

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